• Traités sur la théorie des nombres
Traités sur la théorie des nombres

Traités sur la théorie des nombres

Richard Dedekind (1831-1916) a été, à Göttingen, le dernier élève de Gauss, avant de suivre les leçons de Dirichlet. Ave c ses travaux sur les fondements des mathématiques, Dedekind a acquis une renommée qui a débordé le cercle restreint des algébristes de métier. En effet, s'il compte parmi les créateurs de l'algèbre moderne et de la géométrie algébrique, il a aussi été l'un des principaux acteurs de l'axiomatisation des nombres réels et de l'élaboration de la théorie des ensembles. A cet égard, il convient précisément de mentionner les deux traités proposés ici au lecteur de langue française: Continuité et nombres irrationnels (1872) - suivi de la Correspondance avec Lipschitz suries nombres irrationnels (1876) - et Que sont et à quoi servent les nombres ? (1888). Extrait du livre : Extrait de la Préface de Gerhard Wanner : Traités sur la théorie des nombres. Dedekind obtient la définition et la structure des nombres entiers naturels à partir des principes de la théorie des ensembles, ramenant par là même l'arithmétique à la logique; c'est la première ébauche de ce mouvement que l'on qualifiera plus tard de «logiciste». Il étudie les propriétés des parties finies et infinies des nombres, ainsi que le principe d'une définition par le procédé dit de la «récurrence». Ces réflexions placent Dedekind parmi les créateurs de la théorie des ensembles et les précurseurs de la logique moderne. Aujourd'hui, le nom de Dedekind et l'importance de son traité dans ces domaines sont un peu oubliés. La première raison en est que son épistémologie mathématique et sa théorie appartiennent au bien commun de la communauté mathématique et semblent tenir au fond même de la raison. Une seconde raison réside dans le fait que, à la différence de Gotlob Frege, Dedekind ne manifestait guère d'intérêt pour la logique en tant que telle; il était trop mathématicien pour, comme l'aurait dit Charles Hermite, poursuivre l'ombre et abandonner la proie. A quoi s'ajoute le fait que c'est un autre grand mathématicien, Giuseppe Peano (1889), qui a systématisé les idées fondatrices de Dedekind dans une présentation plus ramassée et plus digeste. Mais Peano reconnaît explicitement sa dette envers Dedekind et il n'aurait sans doute pas été opposé à ce que sa célèbre axiomatique soit dite de «Dedekind-Peano». Voir la suite

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